Was ist Stetigkeit?

Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge, Löcher oder Brüche hat, du könntest sie also zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. An jedem Punkt muss der Wert, dem sich die Funktion nähert, mit dem Wert übereinstimmen, den sie dort tatsächlich hat. Wo beides auseinanderfällt, ist die Funktion unstetig.

Stetigkeit wird Punkt für Punkt geprüft, und dort müssen drei Dinge stimmen. Die Funktion hat an dem Punkt einen Wert, der Graph nähert sich von beiden Seiten ein und derselben Zahl, und diese Zahl stimmt mit dem tatsächlichen Wert überein. Nähert sich der Graph einer Zahl, aber der Wert dort fehlt oder weicht ab, entsteht ein Loch. Laufen die beiden Seiten auf verschiedene Zahlen zu, entsteht ein Sprung, so springt etwa das Porto bei 501 Gramm auf den höheren Tarif. Fast die gesamte Analysis setzt Stetigkeit voraus, und alles mit einer Ableitung muss stetig sein, obwohl eine stetige Kurve scharfe Ecken ohne Ableitung haben kann. Dazu kommt eine nützliche Garantie. Eine stetige Funktion, die an einem Ende unter einer Zahl liegt und am anderen darüber, muss diese Zahl irgendwo dazwischen treffen, du weißt also, dass eine Lösung existiert, bevor du sie findest.

Zwei Trupps graben einen Tunnel von entgegengesetzten Seiten eines Bergs und wollen sich in der Mitte treffen. Der Tunnel funktioniert nur, wenn beide Hälften am exakt selben Punkt ankommen und der Fels am Treffpunkt wirklich durchbrochen ist: Das ist Stetigkeit an einem Punkt. Hälften auf verschiedenen Höhen sind ein Sprung, ein ungegrabenes Stück am Treffpunkt ist ein Loch, und so oder so fährt niemand durch.