Was ist ein Integral?

Ein Integral addiert unendlich viele winzige Stücke zu einer Gesamtmenge. Während die Ableitung die Rate in jedem Augenblick misst, geht das Integral den umgekehrten Weg und sammelt diese Raten wieder zu einer Menge. Im Graphen ist es die Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse.

Geschwindigkeit mal Zeit ergibt Strecke, aber nur, wenn sich die Geschwindigkeit nie ändert. Ändert sie sich, zerlegt man die Fahrt in Scheiben, die so kurz sind, dass sich die Geschwindigkeit darin kaum bewegt, und addiert die kleinen Strecken aller Scheiben. Lässt man die Scheibenbreite gegen null schrumpfen, pendeln sich die Summen auf eine Zahl ein: das Integral. Derselbe Trick misst die Fläche unter einem Graphen, denn jede Scheibe ist ein schmales Rechteck, und die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe. Mit einem Start- und einem Endpunkt wird die Schreibweise ∫f(x)dx zu einer exakten Zahl, etwa der Strecke zwischen Stunde eins und Stunde zwei. Integrieren macht aus einer Rate die Gesamtmenge und Ableiten aus der Gesamtmenge die Rate, die beiden Vorgänge heben sich also gegenseitig auf, ein Ergebnis, das als Hauptsatz der Analysis bekannt ist.

Ein Stromzähler. Dein Verbrauch springt den ganzen Tag hoch und runter, doch der Zähler stellt dir nie den höchsten Moment in Rechnung. Er multipliziert den Verbrauch jedes Moments mit dessen Dauer, addiert alle Stücke, und diese Summe steht auf deiner Rechnung.