¿Qué es la continuidad?

Una función es continua si no tiene saltos, huecos ni cortes, de modo que podrías dibujarla sin levantar el lápiz. En cada punto, el valor al que la función se acerca debe coincidir con el valor que realmente tiene. Donde no coinciden, la función es discontinua.

La continuidad se comprueba punto por punto, y ahí deben cumplirse tres cosas. La función tiene un valor en el punto, la gráfica se acerca a un único número cuando te aproximas por ambos lados, y ese número coincide con el valor real de la función. Si la gráfica se acerca a un número pero el valor ahí falta o es distinto, hay un hueco. Si los dos lados se acercan a números diferentes, hay un salto, del mismo modo que el franqueo salta a una tarifa mayor en 501 gramos. Casi todo el cálculo asume continuidad, y cualquier función con derivada debe ser continua, aunque una curva continua puede tener esquinas afiladas sin derivada. También trae una garantía útil. Una función continua que está por debajo de un número en un extremo y por encima en el otro tiene que alcanzar ese número en algún punto intermedio, así que sabes que existe una solución antes de encontrarla.

Dos cuadrillas excavan un túnel desde lados opuestos de una montaña, con la meta de encontrarse en el medio. El túnel solo funciona si ambas mitades llegan exactamente al mismo punto y la roca del encuentro está realmente perforada: eso es la continuidad en un punto. Mitades que llegan a alturas distintas son un salto, un tramo sin excavar donde se encuentran es un hueco, y en ambos casos nadie pasa.