¿Qué es un límite?

Un límite es el valor hacia el que se dirige una función a medida que su entrada se acerca cada vez más a cierto número. Describe adónde va la función, no dónde aterriza. Esa diferencia importa porque algunas expresiones se rompen en un punto exacto mientras se comportan con normalidad en todo el entorno.

Toma (x² − 1) ÷ (x − 1): en x = 1 da 0/0, así que ahí no existe ningún valor. Acércate a 1 y el patrón queda claro: en x = 0,9 el resultado es 1,9, en 0,99 es 1,99 y en 1,001 es 2,001. Desde ambas direcciones los resultados se cierran sobre 2, así que el límite cuando x tiende a 1 vale 2, escrito lim(x→1) = 2. Ambos lados deben coincidir: si la aproximación por la izquierda va hacia 3 y la de la derecha hacia 7, el límite no existe. Lo que ocurre en el punto mismo es irrelevante, y un agujero en la gráfica no cambia la respuesta. Los límites son la definición que sostiene el resto del cálculo: las derivadas son límites de intervalos que se encogen, las integrales son límites de rebanadas que se encogen, y una función es continua exactamente donde su límite coincide con su valor real.

Los ingenieros que miden la temperatura dentro de la llama de un cohete no pueden colocar una sonda en el centro, porque se funde. Así que miden a 10 cm, luego a 5, a 2 y a 1, y ven cómo las lecturas trepan hacia 3.200 grados: ese número convergido es con el que diseñan el motor. El punto exacto sigue siendo inmedible, y la aproximación les da igualmente una respuesta firme.