¿Qué es una integral?

Una integral suma un número interminable de trozos diminutos para obtener un total. Mientras la derivada mide el ritmo en cada instante, la integral recorre el camino inverso y convierte esos ritmos en una cantidad. En una gráfica es el área entre la curva y el eje horizontal.

Velocidad por tiempo da distancia, pero solo si la velocidad nunca cambia. Cuando cambia, se corta el trayecto en rebanadas tan cortas que la velocidad apenas varía dentro de cada una, y se suman las pequeñas distancias de todas. Al encoger las rebanadas hacia un ancho cero, los totales se acercan a un único número: la integral. El mismo truco mide el área bajo una gráfica, porque cada rebanada es un rectángulo fino, y el área de un rectángulo es base por altura. Con un punto inicial y uno final, la forma escrita ∫f(x)dx se convierte en un número exacto, por ejemplo la distancia recorrida entre la hora uno y la hora dos. Integrar un ritmo devuelve el total y derivar un total devuelve el ritmo, así que las dos operaciones se deshacen mutuamente, un resultado conocido como teorema fundamental del cálculo.

Un contador de luz. Tu consumo sube y baja todo el día, pero el contador nunca te cobra el pico más alto. Multiplica el consumo de cada momento por lo que duró, suma todas las piezas, y ese total es tu factura.